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By Martin Goldstern

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4 Was heißt es, dass eine Funktion wohldefiniert ist? Wenn wir eine Funktion f auf einer Menge X durch eine Rechenvorschrift (etwa einen Term) t definieren, also f (x) := t(x) setzen, dann bedeutet das Wort wohldefiniert“ nur soviel, dass die Rechenvorschrift t tats¨ achlich f¨ ur jede Eingabe x ein Resultat t(x) ” ausgibt. Wenn wir aber f durch eine Formel (∗) f (t1 (x)) := t2 (x) definieren, enth¨ alt diese Definition“ implizit die Behauptung, dass es tats¨ achlich eine Funktion gibt, die ” jedem Element der Form t1 (x) das Element t2 (x) zuordnet.

Sind f, g beide Isomorphismen, so ist auch g ◦ f ein Isomorphismus. b) Ist f Isomorphismus von A nach A∗ , so ist f −1 Isomorphismus von A∗ nach A. ¨ Beweis. Ubung. Bilder und (vollst¨ andige) Urbilder von Unteralgebren bei Homomorphismen sind wieder ¨ Unteralgebren (Ubung). 6 Satz. Sei (H, ·) eine Halbgruppe, (H ∗ , ·) ein Gruppoid und f : H → H ∗ ein Homomorphismus. Dann ist die Unteralgebra (f (H), ·) von (H ∗ , ·) eine Halbgruppe. Beweis. Seien x, y, z ∈ f (H). Dann gibt es a, b, c ∈ H mit f (a) = x, f (b) = y und f (c) = z.

46 – c sei der gemeinsame Wert aller ci . – Wenn x ∈ i∈I Ai , dann muss es ein i0 geben12 mit x ∈ Ai0 . , f¨ ur die x ∈ Aj gilt), stimmen mit dem Wert x′i0 u ¨berein; diesen gemeinsamen Wert definieren wir als x′ . – Wenn x, y ∈ i∈I Ai , dann ist wiederum die Menge {j | x, y ∈ Aj } nicht leer. F¨ ur alle j in dieser Menge stimmen die Werte x +j y u ¨berein; den gemeinsamen Wert definieren wir als x + y. 2 Lemma. F¨ ur die gerade definierte Algebra lim Ai = (A, +, ′ , c) = A gilt Ai ≤ A f¨ ur i∈I alle i.

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Algebra, WS 2009 by Martin Goldstern

by Jason

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